La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Problemas
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
- y' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
- x1 = 3 y1 = −22
- x2 = −1y2 = 10
- A(3, −22) B(−1, 10)
- Sea el punto de tangencia (a, f(a))
- f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
- 3a2=3a = ±1
- Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
- a = 1 f(a) = 1
- y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
- a = −1 f(a) = −1
- y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
- El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x−2.
- Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .
- m = 1
- f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
- 4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
- x = 0 x = −2 x z= 13/4
- P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)
Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
- f′(x) = 1 + tg² x f′(0) = 1 = m
- y = x
- α = arc tg 1 = 45º
- Pasa por (0, 3) 3 = c
- Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c
- y' = 2ax + b 3 = 4a + b
- Resolviendo el sistema se obtiene:
- a = 2 b = −5 c = 3
- Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c
- Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c
- y' = 2ax + b 1 = 2a + b
- Resolviendo el sistema se obtiene:
- a = 3 b = −5 c =1
- f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2
- f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3
- f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0
- f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0
- a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
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