Cálculo de los puntos de inflexión
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad
Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.
Ejercicios
Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de convexa a concava.
Problemas
Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.
f′(x) = 6x 2− 12xf′′(x) = 12x − 121
2 x − 12 = 0x = 1
f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0)
f′(1) = 6 − 12= − 6 = m
y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6
La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
- f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7
- f′′ (x) =6 x − 6
- 6 x − 6 = 0 x= 1
- f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6
- Punto de inflexión: (1, 6)
- m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
- Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0
- Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
- f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f′′(x) = 6x + 2a
- f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1
- f′′(1) = 0 6 + 2a = 0
- a = − 3 b = 4
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